¿Que es adición de vectores y como se grafica?

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar varios vectores se le denomina resultante.

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

Conmutativa
a + b = b + a

Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro o vector 0

a + 0 = 0 + a = a

Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :

1. Tiene la misma dirección que v.
2. Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3. El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 ·v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Ejemplo :

¿Que es sustracción de vectores y como se gráfica?

Vector es una noción que tiene varios usos. Puede tratarse del agente que se encarga de trasladar una cosa de un sitio a otro; de una proyección con intensidad y características que varían; de una magnitud que dispone de un punto de aplicación, un sentido y una dirección; o del organismo capaz de transmitir ciertas enfermedades.

La noción de resta de vectores se emplea en las matemáticas. En este caso, el vector es una magnitud que se grafica como un segmento que tiene su origen en un punto A y se orienta hacia su extremo (el punto B). El vector, por lo tanto, es un segmento AB.

La resta de vectores es una operación que se realiza con dos de estos segmentos. Para realizar la resta de dos vectores, lo que se hace es tomar un rector y sumarle su opuesto.

Supongamos que deseamos realizar la siguiente resta: AB – DE, siendo AB (-3, 4) y DE (5, -2)  de acuerdo a la posición de los vectores en el plano cartesiano. 

Teniendo en cuenta lo dicho sobre la suma del opuesto, deberíamos plantear la operación de este modo:

(-3, 4) – (5, -2)

(-3-5, 4+2)

(-8, 6)

Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). 

Así, el resultado de esta resta de vectores es (-8, 6).

Si, en cambio, hubiésemos sumado los vectores, la operación  era más sencilla ya que alcanzaba con sumar los componentes:

(-3, 4) + (5, -2)

(-3 + 5, 4-2)

(2, 2)

Para restar dos vectores libres  y  se suma  con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

¿Cómo se representa geometricamente el vector Suma y Resta?

Para vectores posición la suma  es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores  y  . La resta  o es el vector representado por la otra diagonal ( al hacer  el punto final del vector es  y el inicial , por eso la flecha, si fuera  el punto final sería el de  y el vector tendría la dirección opuesta )

 Sean  los ángulos que forma el vector  con los ejes
positivos  respectivamente.Estos son los ángulos directores del vector 

Como   

;  son los cosenos directores.

Ejemplo 1: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son 

  con lo que  el vector  es un vector unitario con la dirección descrita.Como se quiere que el vector tenga magnitud  el vector será  .

Ejemplo 2: Encontrar el vector cuyos ángulos directores sean


Como cos
no existe ningún vector que tenga esa dirección.

Respecto a la suma y resta de vectores en  los vectores resultantes son igual que para  la diagonal
principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta.

¿Còmo se calcula la dirección y el sentido de un vector en R3?

• Una dirección: la de la recta que lo contiene.
• Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

La dirección de v=(x,y,z) esta definida por la medida de los ángulos que forma la linea de acción del segmento de recta con los ejes x,y,z.

El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.

del segmento de recta con los ejes

 x

, ,

 y

z

 

Tutorial de Suma, Resta de vectores, Magnitud Vectorial y Representación Grafica

¿Qué significa R3?

Cuando se habla de  se refiere a tres (3) dimensiones visibles. En geometría, El espacio .

Para establecer la correspondencia se debe considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z, perpendicular al plano formado por el eje x y el eje y. cada punto P del espacio esta en correspondencia con un elemento (x, y, z) de .

¿Qué son Vectores?

Un Vector se puede definir como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos en el plano  o en el espacio  .

¿Qué son Vectores en R3?

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. De esta forma, un vector en el espacio () es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.